Barbara
TOUT CE QUE VOUS DEVEZ SAVOIR SUR LA DISTRIBUTION DE DIRICHLET
INTRODUCTION INTUITIVE À LA DISTRIBUTION DE DIRICHLET
La distribution de Dirichlet est une généralisation de la distribution beta. En statistiques bayésiennes, elle est couramment utilisée comme prior conjugé à la distribution multinomiale, ce qui permet de modéliser l’incertitude d’un vecteur aléatoire de probabilités. Elle a un large éventail d’applications, notamment l’analyse bayésienne, l’extraction de texte, la génétique statistique et l’inférence non paramétrique. Cet article donne une introduction intuitive à la distribution de Dirichlet et montre comment elle est liée à la distribution multinomiale. De plus, il montre comment elle peut être modélisée et visualisée en Python.
DÉFINITION
Supposons que les variables aléatoires continues X₁, X₂, …Xₖ (k≥2) forment le vecteur aléatoire X défini comme suit:
Nous définissons également le vecteur α comme suit:
Maintenant, le vecteur aléatoire X est dit avoir une distribution de Dirichlet avec le paramètre α s’il a la fonction de densité de probabilité (PDF) conjointe suivante:
La fonction B(α) est appelée la fonction bêta multivariée et est définie comme suit:
où Γ(x) est la fonction gamma. Si le vecteur aléatoire X a une distribution de Dirichlet avec le paramètre α, on le note X ~ Dir(α). La fonction bêta multivariée est incluse dans la PDF conjointe pour la normaliser. La PDF conjointe doit intégrer à 1 sur son domaine:
Par conséquent, nous avons:
LE SUPPORT DE LA DISTRIBUTION DE DIRICHLET
Les valeurs que prennent les variables aléatoires X₁, X₂, …Xₖ doivent respecter les conditions suivantes pour avoir fₓ(x) > 0, selon l’Équation 1:
Ces conditions définissent le support de la distribution de Dirichlet. Le support de X, et de sa distribution, est l’ensemble de tous les x (les valeurs que X peut prendre) où fₓ(x) > 0. Si X a k éléments, le support de X avec une distribution de Dirichlet est un simplexe de dimension k-1. Un simplexe est une variété linéaire bornée créée en raison des contraintes de l’Équation 3. Un simplexe est la généralisation de la notion de triangle à des dimensions supérieures. Ainsi, un k-1…
(À compléter avec les informations spécifiques au sujet de la distribution de Dirichlet)
RÉFÉRENCES:
– Source de l’image: https://pixabay.com/vectors/cubes-dice-platonic-solids-numbers-160400/
– Équation 1: [Insérer la référence de l’équation 1]
– Équation 3: [Insérer la référence de l’équation 3]
– Python Implementation: [Insérer le lien vers l’implémentation Python]
Note: Cet article est basé sur les recherches et les connaissances de l’auteur concernant la distribution de Dirichlet. Des sources supplémentaires peuvent être nécessaires pour une compréhension approfondie de ce sujet.
